Wie Berechnet Man Den Umfang Eines Parallelogramms
Du kannst von vielen verschiedenen Dingen den Umfang ermitteln – zum Beispiel von Deinem Kopf oder Deinem Tisch. Diese Dinge würdest Du wahrscheinlich mit einem Lineal oder Maßband ausmessen, aber Du kannst den Umfang auch rechnerisch ermitteln. Hier lernst Du, wie Du den Umfang eines Parallelogramms berechnest.
Umfang Parallelogramm – Grundlagenwissen
Das Parallelogramm ist eine wichtige Figur der Geometrie. Dabei handelt es sich um Vierecke mit besonderen Eigenschaften.
Ein Parallelogramm hat folgende Eigenschaften: Die gegenüberliegenden Seiten sind jeweils parallel und gleich lang.
Abbildung 1: Parallelogramm
Abbildung 2: Quadrat 
Abbildung 3: Rechteck 
Abbildung 4: Raute
Das Quadrat, das Rechteck und die Raute sind besondere Parallelogramme.
Umfang eines Parallelogramms konstruieren
Jedes Parallelogramm besitzt einen Umfang, der sich wie folgt definiert:
Der Umfang bezeichnet die Länge einer Linie, welche eine Figur in der Ebene begrenzt. Das Formelzeichen für den Umfang lautet 
.
Der Umfang eines Parallelogramms setzt sich aus den Seitenlängen des Parallelogramms zusammen. Längen werden immer mit einer Maßeinheit angeben, etwa Meter (
), Zentimeter (
) oder Kilometer (
).
Umfang Parallelogramm – Herleitung
Für dice allgemeine Formel zur Berechnung des Umfangs addiert man alle Längen der Seiten der Figur. Bei einem allgemeinen Viereck lautet dice Formel: 
.
Abbildung 5: beschriftetes Parallelogramm
Die Formel vom allgemeinen Viereck kann auf jedes Viereck angewendet werden, so auch für das Parallelogramm. Dice Formel für das Parallelogramm ist eine Vereinfachung der allgemeinen Formel. Da das Parallelogramm zweimal zwei gleichlange Seiten besitzt, ist die Seite 
gleich der Seite 
und die Seite 
gleich der Seite 
und dice allgemeine Formel kann vereinfacht werden.
Die entstehende Formel leitet sich wie folgt her:
Umfang Parallelogramm – Formel
Aus der Herleitung geht folgende Formel für den Umfang eines Parallelogramms hervor:
Die Formel für den Umfang 
eines Parallelogramms mit den Seiten 
und 
lautet:
Umfang Parallelogramm berechnen
Zum besseren Verständnis kannst Du beide Formeln auf ein Parallelogramm anwenden.
Berechne den Umfang des Parallelogramms mit den Seitenlängen 
jeweils mit der allgemeinen Formel zur Berechnung des Umfangs und der vereinfachten Formel für das Parallelogramm.
Nach der allgemeinen Formel:
Nach der Formel für das Parallelogramm:
Es ist egal, mit welcher Formel Du den Umfang berechnest. Bei beiden Formeln kommst Du auf das gleiche Ergebnis, jedoch ist der Rechenaufwand bei der Formel für das Parallelogramm geringer.
Umfang Parallelogramm mit Flächeninhalt berechnen
Der Umfang und der Flächeninhalt stehen miteinander in Zusammenhang. Du kannst mithilfe vom Flächeninhalt den Umfang berechnen und umgekehrt.
Flächeninhalt – Parallelogramm
Das Parallelogramm besitzt ebenfalls eine vereinfachte Formel für den Flächeninhalt.
Dice Formel für den Flächeninhalt 
eines Parallelogramms lautet:
oder
Berechnung des Umfangs anhand des Flächeninhalts
Um den Umfang mithilfe des Flächeninhalts zu berechnen, wird die Höhe auf der nicht gegebenen Seite und der Flächeninhalt gebraucht.
Es können zwei Fälle auftreten: Entweder Seite 
oder Seite 
sind nicht gegeben.
Umfang ohne a berechnen – Formel umstellen
Im Folgenden wird der Umfang berechnet, wobei die Seite 
nicht gegeben ist. Dafür ist die Höhe 
, der Flächeninhalt 
und die Seite 
gegeben.
Das Parallelogramm mit der Seite 
, dem Flächeninhalt 
und Höhe 
auf 
ist gegeben. Gesucht wird der Umfang dieses Parallelogramms.
Als Erstes stellst Du die Formel für den Flächeninhalt 
um.
Danach setzt Du dice umgestellte Formel in dice Formel vom Umfang 
ein.
Nun setzt Du noch die gegebenen Werte ein und rechnest das Ergebnis aus.
In der Rechnung kannst Du die Einheiten weglassen, damit es übersichtlicher ist. Aber im Ergebnis muss die Einheit angegeben werden.
Das Parallelogramm mit der Seite 
, dem Flächeninhalt 
und Höhe 
auf 
ist gegeben. Gesucht wird der Umfang dieses Parallelogramms.
Als Erstes stellst Du auch hier dice Formel für den Flächeninhalt 
um.
Danach setzt Du die umgestellte Formel in die Formel vom Umfang 
ein.
Nun setzt Du noch die gegebenen Werte ein und rechnest das Ergebnis aus.
Umfang mit Vektoren berechnen
Der Umfang des Parallelogramms lässt sich auch im dreidimensionalen Koordinatensystem berechnen. Folgendermaßen berechnet sich der Umfang 
mit den Vektoren 
und 
:
Der Umfang lässt sich nur von positiven Seitenlängen ermitteln. Deshalb wird im dreidimensionalen Koordinatensystem bei Längen immer mit den Beträgen gerechnet.
Einen Betrag erkennst Du an den senkrechten Strichen vor und nach einer Variablen.
Zur Verdeutlichung ein Beispiel:
Ein Parallelogramm hat folgende Eckpunkte: 
. Berechne den Umfang des Parallelogramms.
Dazu benötigst Du die Spannvektoren zwischen den Punkten. Hierbei brauchst Du nur zwei zu ermitteln. Beachte, dass Du nicht die parallelen Seiten ermittelst.
Achte darauf, dass Du die Ortsvektoren in der richtigen Reihenfolge subtrahierst.
Nun berechnest Du die Seitenlänge mithilfe der Vektoren,
setzt dice Werte in die Formel für den Umfang ein und ermittelst den Umfang.
Umfang Parallelogramm – Aufgaben
In den folgenden Übungsaufgaben kannst Du Dein eben erlerntes Wissen testen.
1. Aufgabe
Berechne den Umfang der Parallelogramme mit den folgenden Seitenlängen.
Lösung
2. Aufgabe
Berechne die fehlende Seite, in dem Du dice Formel für den Umfang vorher umstellst.
Lösung
3. Aufgabe
Berechne den Umfang eines Parallelogramms mit den Werten: 
Lösung
Für die Berechnung des Umfangs benötigst Du zwei Formeln, denn Dir fehlt noch der Wert von 
.
Um 
zu erhalten, kannst Du dice Formel für den Flächeninhalt umstellen
und in die Formel für den Umfang einsetzen.
Als Ergebnis erhältst Du einen Umfang von 
.
Umfang Parallelogramm – Das Wichtigste
Source: https://www.studysmarter.de/schule/mathe/geometrie/umfang-parallelogramm/
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